SP1716 GSS3 - Can you answer these queries III - 动态dp,线段树

2019-10-12

GSS3

Description

动态维护最大子段和,支持单点修改。

Solution

\(f[i]\) 表示以 \(i\) 为结尾的最大子段和, \(g[i]\) 表示 \(1 \sim i\) 的最大子段和,那么

\[f[i] = max(f[i - 1] + a[i], a[i])\]

\[g[i] = max(g[i - 1], f[i])\]

发现只跟前一项有关。我们希望使用矩阵乘法的思路,但是矩阵乘法通常只能适用于递推问题。因此我们引入广义矩阵乘法。

矩阵乘法问题可分治的原因在于矩阵乘法满足结合律,而满足结合律的根本原因是乘法对加法满足分配率,即

\[a\cdot (b+c) = a\cdot c + b\cdot c\]

那么在这里,很容易发现,加法运算对\(Min/Max\)运算也是满足分配率的,即

\[a + min(b,c) = min(a+c,b+c)\]
\[a + max(b,c) = max(a+c,b+c)\]

所谓广义矩阵乘法,就是将矩阵乘法中的加法运算换成\(Min/Max\)运算,乘法运算换成加法运算,那么这样的矩阵乘法仍然满足结合律。

考虑到 \(g[i]\)\(f[i]\) 转移过来的那一项可以直接拆开,很容易得到转移方程

\[ \begin{bmatrix} f_{i} \\ g_{i} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i} & -\infty & a_{i} \\ a_{i} & 0 & a_{i}\\ -\infty & -\infty & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} f_{i-1} \\ g_{i-1} \\ {0} \end{bmatrix} \]

可以将其记为

\[F_i = A_i \cdot F_{i-1}\]

于是我们用线段树暴力维护所有\(A_i\)的乘积即可。复杂度\(O(27n \log{n})\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
struct Matrix {
    int n,m,a[5][5];
    Matrix() {
        n=m=0;
        for(int i=0;i<4;i++) for(int j=0;j<4;j++) a[i][j]=0;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &y) {
        Matrix r;
        if(m!=y.n) return r;
        r.n = n; r.m = y.m;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=1;j<=y.m;j++) {
                for(int k=1;k<=m;k++) {
                    if(k==1) r.a[i][j]=a[i][k]+y.a[k][j];
                    else r.a[i][j]=max(r.a[i][j],a[i][k]+y.a[k][j]);
                }
            }
        }
        return r;
    }
}; 
Matrix make(int x) {
    Matrix r;
    r.m=r.n=3;
    r.a[1][1]=r.a[1][3]=r.a[2][1]=r.a[2][3]=x;
    r.a[2][2]=r.a[3][3]=0;
    r.a[1][2]=r.a[3][1]=r.a[3][2]=-1e+9;
    return r;
}

const int N = 1000005;

Matrix val[N],zero;
int n,q,src[N],t1,t2,t3;

void pushup(int p) {
    val[p] = val[p*2]*val[p*2+1];
}
void build(int p,int l,int r) {
    if(l==r) {
        val[p]=make(src[l]);
    }
    else {
        build(p*2,l,(l+r)/2);
        build(p*2+1,(l+r)/2+1,r);
        pushup(p); 
    }
}
void modify(int p,int l,int r,int pos,int key) {
    if(l==r) {
        val[p]=make(key);
    }
    else {
        if(pos<=(l+r)/2) modify(p*2,l,(l+r)/2,pos,key);
        else modify(p*2+1,(l+r)/2+1,r,pos,key);
        pushup(p); 
    }
}
Matrix query(int p,int l,int r,int ql,int qr) {
    Matrix R=make(-1e+9);
    if(l>qr||r<ql) return R;
    if(l>=ql&&r<=qr) return val[p];
    return query(p*2,l,(l+r)/2,ql,qr)*query(p*2+1,(l+r)/2+1,r,ql,qr);
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>src[i];
    cin>>q;
    zero.n=3; zero.m=1;
    zero.a[1][1]=zero.a[2][1]=-1e+9;
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=q;i++) {
        cin>>t1>>t2>>t3;
        if(t1==0) {
            modify(1,1,n,t2,t3);
        }
        else {
            Matrix r=query(1,1,n,t2,t3)*zero;
            cout<<r.a[2][1]<<endl;
        }
    }
}

当然似乎这个问题用线段树暴力又短又快

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int src[1000005],a[1000005],al[1000005],ar[1000005],s[1000005],n,m,t1,t2,t3,t4;

struct Result {
    int a,al,ar,s;
};

void build(int p,int l,int r) {
    if(l==r) a[p]=al[p]=ar[p]=s[p]=src[l];
    else {
        build(p<<1,l,(l+r)/2),
        build(p<<1|1,(l+r)/2+1,r);
        a[p]=max(max(a[p<<1],a[p<<1|1]),max(max(ar[p<<1],al[p<<1|1]),ar[p<<1]+al[p<<1|1]));
        al[p]=max(al[p<<1],s[p<<1]+max(0,al[p<<1|1]));
        ar[p]=max(ar[p<<1|1],max(0,ar[p<<1])+s[p<<1|1]);
        s[p]=s[p*2]+s[p*2+1];
    }
}

void modify(int p,int l,int r,int pos,int key) {
    if(l==r) a[p]=al[p]=ar[p]=s[p]=key;
    else {
        if(pos<=(l+r)/2) modify(p<<1,l,(l+r)/2,pos,key);
        else modify(p<<1|1,(l+r)/2+1,r,pos,key);
        a[p]=max(max(a[p<<1],a[p<<1|1]),max(max(ar[p<<1],al[p<<1|1]),ar[p<<1]+al[p<<1|1]));
        al[p]=max(al[p<<1],s[p<<1]+max(0,al[p<<1|1]));
        ar[p]=max(ar[p<<1|1],max(0,ar[p<<1])+s[p<<1|1]);
        s[p]=s[p*2]+s[p*2+1];
    }
}

Result query(int p,int l,int r,int ql,int qr) {
    Result res;
    res.a=-1e+8;
    res.al=-1e+8;
    res.ar=-1e+8;
    res.s=-1e+8;
    if(l>qr||r<ql) return res;
    if(l>=ql&&r<=qr) {
        res.a=a[p];
        res.al=al[p];
        res.ar=ar[p];
        res.s=s[p];
        return res;
    }
    else {
        Result cl,cr;
        cl=query(p<<1,l,(l+r)/2,ql,qr);
        cr=query(p<<1|1,(l+r)/2+1,r,ql,qr);
        res.a=max(max(cl.a,cr.a),max(max(cl.ar,cr.al),cl.ar+cr.al));
        res.al=max(cl.al,cl.s+max(0,cr.al));
        res.ar=max(cr.ar,max(0,cl.ar)+cr.s);
        res.s=cl.s+cr.s;
        return res;
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>src[i];
    build(1,1,n);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        cin>>t3>>t1>>t2;
        if(t3) {
            Result res=query(1,1,n,t1,t2);
            cout<<res.a<<endl;
        }
        else {
            modify(1,1,n,t1,t2);
        }
    }
}